Martha Argerich Buenos Airesben, Argentínában született. Az első zongoraóráit ötéves korában vette Vincenzo Scaramuzzánál. Csodagyereknek számított, hamarosan nyilvánosan is fellépett. 1955-ben Európába költözött, Londonban, Bécsben és Svájcban folytatta tanulmányait Seidlhofer, Gulda, Magaloff, Lipatti asszony és Stefan Askenase tanítványaként.1957-ben megnyerte a bolzanói és a genfi zongoraversenyt, 1965-ben pedig a varsói Nemzetközi Chopin-versenyt. Azóta a népszerűség és képesség szempontjából egyaránt a világ egyik legmagasabban jegyzett zongoristája.

Martha Argerichet nagyra tartják a XIX. és XX. század virtuóz zongoraműveinek előadásáért. Hatalmas repertoárjában egyaránt szerepelnek Bach, Bartók, Beethoven és Messiaen művei, valamint Chopin, Schumann, Liszt, Debussy, Ravel, Franck, Prokofjev, Sztravinszkij, Sosztakovics és Csajkovszkij darabjai.

Noha Európában, Japánban, Amerikában és Izraelben a legnépszerűbb partnerekkel, zenekarokkal és karmesterekkel játszik (többek között Zubin Mehtával és Lahav Shanival), a legnagyobb zenei fesztiválokon lép fel, a kamarazene jelentős szerepet játszik a szakmai életében. Rendszeresen lép fel és készít felvételeket Nelson Freire-vel, Alexandre Rabinovitch-csal, Mischa Maiskyvel, Gidon Kremerrel, Daniel Barenboimmal, amiről így nyilatkozott: „Ez a fajta harmónia az emberek egy csoportján belül erős érzéseket kelt bennem, békével tölt el”.

Martha Argerichnek lemeze jelent meg az EMI-nál, a Sony-nál, a Philipsnél, a Teldecnél és a DGG-nél, számos fellépését a televíziócsatornákon is sugározták világszerte. Számos díjat kapott, többek között Grammy-díjat Bartók és Prokofjev zongoraversenyeinek előadásáért, a Gramophone magazin Az év művésze díját, Chopin-zongoraversenyeinek felvételéért az év legjobb zongoraverseny-felvétele díjat, a Le Monde de la Musique zenei újság Choc-díját az amszterdami koncertjéért, a német lemezkritikusoktól az év művésze díjat (Künstler des Jahres Deutscher Schallplattenkritik), Grammy-díjat Prokofjev Hamupipőkéjének Mihail Pletnyov vezényletével történő előadásáért, és legutóbb még egy Grammy-díjat Beethoven 2. és 3. zongoraversenyéért, amit a Mahler Chamber Orchestrával adott elő, Claudio Abbado vezényletével (DGG / legjobb klasszikuszenei hangszeres szólista), a Sunday Times az év lemeze díját, illetve Sosztakovics-felvételéért (ami az EMI-nál jelent meg 2007-ben) a BBC Music Magazine Awardot. Legutóbbi felvételei: Mozart zongoraversenyei (K466 és K503) a Mozart Orchestrával és Claudio Abbadóval, zongorakettőse Daniel Barenboimmal (Deutsche Grammophon).

1998 óta a japán Beppu Fesztivál művészeti vezetője; 1999-ben Buenos Airesben útjára indította a Martha Argerich Nemzetközi Zongoraverseny és -fesztivált, 2002 júniusában Luganóban pedig a Progetto Martha Argerichet (Martha Argerich-projektet).

Martha Argerich számtalan elismerést kapott: a francia kormánytól 1996-ban az Ordre des Arts et des Lettres, illetve 2004-ben a Commandeur de l’Ordre des Arts et des Lettres érdemrendet, 1997-ben Rómában az Accademica Nazionale di Santa Cecilia elismerését, 2001-ben a Musical America az év zenésze díját, a japán uralkodó Felkelő Nap (The Order of the Rising Sun, Gold Rays with Neck Ribbon) kitüntetését és 2005-ben a Japán Művészeti Egyesület Praemium Imperiale díját, 2016 decemberében Barack Obamától vehette át a Kennedy Center Honors díjat, Sergio Mattarellától pedig 2018 októberében a Commendatore dell’Ordine al Merito della Repubblica Italiana díjat.